6. Упростите выражение \( \frac{25}{c-5d} \cdot \frac{c^2 + 25d^2}{5} - 2cd \) и найдите его значение, если \( c=10, d=1 \).

Решение:

Сначала упростим выражение:

\( \frac{25}{c-5d} \cdot \frac{c^2 + 25d^2}{5} - 2cd \)

Заметим, что \( c^2 + 25d^2 \) не раскладывается на множители, которые сократились бы с \( c-5d \). Также \( c^2 + 25d^2 \) не является разностью квадратов. Выполним умножение дробей:

\( \frac{25(c^2 + 25d^2)}{5(c-5d)} - 2cd \)

Сократим \( 25 \) и \( 5 \):

\( \frac{5(c^2 + 25d^2)}{c-5d} - 2cd \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{5c^2 + 125d^2}{c-5d} - \frac{2cd(c-5d)}{c-5d} \)

\( \frac{5c^2 + 125d^2 - (2c^2d - 10cd^2)}{c-5d} \)

\( \frac{5c^2 + 125d^2 - 2c^2d + 10cd^2}{c-5d} \)

Теперь подставим значения \( c=10 \) и \( d=1 \):

Знаменатель: \( c - 5d = 10 - 5(1) = 10 - 5 = 5 \)

Числитель: \( 5c^2 + 125d^2 - 2c^2d + 10cd^2 \)

\( 5(10)^2 + 125(1)^2 - 2(10)^2(1) + 10(10)(1)^2 \)

\( 5(100) + 125(1) - 2(100)(1) + 10(10)(1) \)

\( 500 + 125 - 200 + 100 \)

\( 625 - 200 + 100 = 425 + 100 = 525 \)

Итоговое значение выражения:

\( \frac{525}{5} = 105 \)

Ответ: 105