6) Упростите выражение: $\frac{x^2+5x}{(x-5)^2}:\left(\frac{5}{x+5}+\frac{x^2+25}{x^2-25}-\frac{5}{5-x}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6) Упростите выражение: $\frac{x^2+5x}{(x-5)^2}:\left(\frac{5}{x+5}+\frac{x^2+25}{x^2-25}-\frac{5}{5-x}\right)$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим на множители: $x^2+5x=x(x+5)$, $x^2-25=(x-5)(x+5)$. Также $-\frac{5}{5-x}=\frac{5}{x-5}$.

Сложим дроби во второй скобке, используя общий знаменатель $(x-5)(x+5)$:

$\frac{5(x-5)+(x^2+25)+5(x+5)}{(x-5)(x+5)}=\frac{x^2+10x+25}{(x-5)(x+5)}=\frac{(x+5)^2}{(x-5)(x+5)}=\frac{x+5}{x-5}$.

Первую дробь запишем в разложенном виде и выполним деление:

$\frac{x(x+5)}{(x-5)^2}:\frac{x+5}{x-5}=\frac{x(x+5)}{(x-5)^2}\cdot\frac{x-5}{x+5}=\frac{x}{x-5}$.

Ответ: $\frac{x}{x-5}$.

Ограничения исходного выражения: $x\ne5$, $x\ne-5$. Скобка, на которую делим, не равна нулю в области допустимых значений.

6) Упростите выражение: \(\frac{x^2+5x}{(x-5)^2}:\left(\frac{5}{x+5}+\frac{x^2+25}{x^2-25}-\frac{5}{5-x}\right)\).