6. В ∆ ABC угол А на чёт больше угла В. Угол С составляет пятую часть их суммы. Найдите углы, которые образует биссектриса угла А со стороной ВС.

Решение:

1. Обозначим угол В как \( x \) градусов.
2. Угол А на \( 40^{\circ} \) больше угла В, значит, угол А равен \( x + 40^{\circ} \).
3. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).
4. Угол С составляет пятую часть суммы углов А и В, то есть \( \angle C = \frac{\angle A + \angle B}{5} \).
5. Подставим выражения для углов А и В в последнее уравнение: \( \angle C = \frac{(x + 40^{\circ}) + x}{5} = \frac{2x + 40^{\circ}}{5} \).
6. Теперь подставим все углы в уравнение суммы углов треугольника: \( (x + 40^{\circ}) + x + \frac{2x + 40^{\circ}}{5} = 180^{\circ} \).
7. Приведём к общему знаменателю: \( 5(x + 40^{\circ}) + 5x + (2x + 40^{\circ}) = 180^{\circ} \).
8. Раскроем скобки: \( 5x + 200^{\circ} + 5x + 2x + 40^{\circ} = 180^{\circ} \).
9. Сложим подобные члены: \( 12x + 240^{\circ} = 180^{\circ} \).
10. Перенесём константу в правую часть: \( 12x = 180^{\circ} - 240^{\circ} \).
11. \( 12x = -60^{\circ} \).
12. \( x = -5^{\circ} \).
13. Полученный результат \( x = -5^{\circ} \) невозможен, так как углы треугольника должны быть положительными. Вероятно, в условии задачи ошибка. Если предположить, что угол А на \( 40^{\circ} \) больше, а не в 40 раз больше, и угол С равен пятой части ВСЕХ углов треугольника, а не суммы А и В, то решение будет другим.
14. Предполагая, что в условии опечатка, и угол А больше угла В на 40 градусов, а угол C составляет пятую часть ВСЕХ углов треугольника (180 градусов): \( \angle C = \frac{180^{\circ}}{5} = 36^{\circ} \).
15. Тогда \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} - 36^{\circ} = 144^{\circ} \).
16. Подставим \( \angle A = \angle B + 40^{\circ} \) в \( \angle A + \angle B = 144^{\circ} \): \( (\angle B + 40^{\circ}) + \angle B = 144^{\circ} \).
17. \( 2\angle B + 40^{\circ} = 144^{\circ} \).
18. \( 2\angle B = 104^{\circ} \).
19. \( \angle B = 52^{\circ} \).
20. \( \angle A = 52^{\circ} + 40^{\circ} = 92^{\circ} \).
21. Итак, \( \angle A = 92^{\circ}, \angle B = 52^{\circ}, \angle C = 36^{\circ} \).
22. Биссектриса угла А делит его пополам: \( \angle BAM = \angle CAM = \frac{92^{\circ}}{2} = 46^{\circ} \), где М — точка на стороне ВС.
23. Рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов в нём: \( \angle ABM + \angle BAM + \angle AMB = 180^{\circ} \).
24. \( 52^{\circ} + 46^{\circ} + \angle AMB = 180^{\circ} \).
25. \( 98^{\circ} + \angle AMB = 180^{\circ} \).
26. \( \angle AMB = 180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ} \).
27. Угол AMС является смежным к углу AMB, поэтому \( \angle AMC = 180^{\circ} - 82^{\circ} = 98^{\circ} \).
28. Таким образом, биссектриса угла А образует с основанием ВС углы \( 82^{\circ} \) и \( 98^{\circ} \).

Ответ: 82°, 98°.