6. В коробке 2 синих, 2 красных и 1 зелёный шарик. Дважды наугад достают по одному шарику, каждый раз возвращая его обратно. а) Сколько элементарных исходов? б) Какова вероятность, что оба раза достанут красный шарик? в) Какова вероятность, что хотя бы один раз достанут синий шарик? г) Приведите обоснование.

При рассмотрении исходов по цветам на каждом шаге возможны 3 результата: синий, красный или зелёный.

а) Число элементарных исходов: \(3\cdot3=9\): СС, СК, СЗ, КС, КК, КЗ, ЗС, ЗК, ЗЗ.

б) Вероятность достать красный шарик за один раз: \(\frac{2}{5}\). Так как шарик возвращают, события независимы:

\(P(\text{два красных})=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{25}\).

в) Найдём вероятность противоположного события: ни разу не достать синий шарик. Вероятность этого за один раз равна \(\frac{3}{5}\).

\(P(\text{ни одного синего})=\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}\).

Тогда вероятность хотя бы одного синего шарика:

\(P=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\).

г) Возвращение шарика после каждого извлечения сохраняет состав коробки, поэтому вероятность каждого результата не меняется, а события двух извлечений являются независимыми.

Ответ: а) 9; б) \(\frac{4}{25}\); в) \(\frac{16}{25}\).