Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: № 6. В некоторой полуплоскости из точки O выходят четыре луча OA, OB, OC и OD и образуют несколько углов, причём угол AOB…Фото задания

Ответ:

Расположим направления лучей по порядку внутри полуплоскости. Из четырёх направлений только два средних могут быть биссектрисами углов, образованных остальными лучами: крайнее направление не может лежать между двумя другими. Обозначим их по порядку через p < q < r < s. Для двух средних направлений возможны условия q = (p + r)/2 или q = (p + s)/2, а для r — r = (p + s)/2 или r = (q + s)/2.

С учётом этих условий получаются три типа последовательных направлений (с точностью до поворота и общего масштаба): 0, 1, 2, 4; 0, 1, 2, 3; 0, 1, 1.5, 2. В каждом случае A и B можно поставить на две позиции с разностью 72°, а оставшиеся две позиции назначить C и D. Отбрасывая варианты, в которых все четыре луча не помещаются в одной полуплоскости, получаем:

  • 18°: направления 0°, 18°, 36°, 72°; A и B — на 0° и 72°, C и D — на 18° и 36°. Лучи под углами 18° и 36° являются биссектрисами углов между лучами 0°, 36° и 72° соответственно.
  • 24°: направления 0°, 24°, 48°, 72°; A и B — на крайних направлениях, C и D — на двух средних. Каждое из двух средних направлений — биссектриса угла между крайним лучом и соседним лучом.
  • 36°: направления 0°, 36°, 72°, 144°; A и B — на 72° и 144°, C и D — на 0° и 36°. Направления 36° и 72° — биссектрисы углов между остальными соответствующими парами лучей.
  • 48°: направления 0°, 24°, 48°, 72°; A и B — на 24° и 72°, C и D — на 0° и 48°. Направления 24° и 48° — биссектрисы углов между лучами 0° и 48°, а также 24° и 72°.
  • 108°: направления 0°, 36°, 72°, 144°; A и B — на 0° и 72°, C и D — на 36° и 144°. Направления 36° и 72° — биссектрисы углов между лучами 0° и 72°, а также 0° и 144°.

Указанные угловые направления задают чертёж в каждом случае: проведите из O лучи с перечисленными направлениями и подпишите их A, B, C и D согласно указанному распределению. Равные части каждого угла-биссектора имеют одинаковую величину.

Ответ: ∠COD может равняться 18°, 24°, 36°, 48° или 108°.