6. В окружности с радиусом 10 см проведён диаметр, и на нём отмечена точка А на расстоянии 6 см от центра. Найти радиус окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается первой окружности.

Решение:

Пусть первая окружность имеет центр O и радиус R = 10 см. Диаметр этой окружности проходит через центр O. Точка А лежит на диаметре на расстоянии 6 см от центра O. Следовательно, OA = 6 см.

Рассмотрим вторую окружность с центром O' и радиусом r. Эта окружность касается диаметра первой окружности в точке А. Это означает, что центр O' лежит на перпендикуляре к диаметру в точке А. Также, эта окружность касается первой окружности изнутри.

• Так как вторая окружность касается диаметра в точке А, то ее центр O' лежит на прямой, перпендикулярной диаметру в точке А.
• Так как вторая окружность касается первой окружности изнутри, то расстояние между их центрами равно разности их радиусов: OO' = R - r.
• Пусть диаметр лежит на оси x. Центр O находится в начале координат (0, 0). Радиус R = 10.
• Точка А находится на расстоянии 6 см от центра. Можно выбрать А = (6, 0) или А = (-6, 0). Пусть А = (6, 0).
• Центр O' второй окружности будет иметь координаты (6, r) или (6, -r), так как она касается диаметра (оси x) в точке А.
• Расстояние от центра O (0, 0) до центра O' (6, r) равно R - r = 10 - r.
• Используем формулу расстояния между двумя точками: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
• \( OO' = \sqrt{(6 - 0)^2 + (r - 0)^2} = \sqrt{6^2 + r^2} = \sqrt{36 + r^2} \).
• Теперь приравниваем два выражения для OO':
• \( \sqrt{36 + r^2} = 10 - r \).
• Возведем обе части в квадрат:
• \( 36 + r^2 = (10 - r)^2 \)
• \( 36 + r^2 = 100 - 20r + r^2 \)
• Вычтем r² из обеих частей:
• \( 36 = 100 - 20r \)
• Перенесем 20r в левую часть и 36 в правую:
• \( 20r = 100 - 36 \)
• \( 20r = 64 \)
• \( r = \frac{64}{20} \)
• \( r = \frac{16}{5} \)
• \( r = 3.2 \) см.

Ответ: 3.2 см