№6. В параллелограмм с острым углом 30° вписана окружность радиуса 2,5 см. Найдите площадь параллелограмма.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Нужно найти площадь параллелограмма, зная, что в него вписана окружность, угол равен 30°, а радиус окружности — 2,5 см.

Что нам дано?

• Параллелограмм.
• Один из углов параллелограмма равен 30° (это острый угол).
• В параллелограмм вписана окружность.
• Радиус этой окружности: r = 2,5 см.

Что нужно найти?

• Площадь параллелограмма (S).

Давай рассуждать!

1. Свойство вписанной окружности: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Для параллелограмма это означает, что если в него вписана окружность, то он должен быть ромбом (у ромба все стороны равны, и суммы противоположных сторон равны).
2. Высота параллелограмма: Диаметр вписанной окружности равен высоте параллелограмма. Так как радиус r = 2,5 см, то диаметр d = 2 * r = 2 * 2,5 см = 5 см. Значит, высота параллелограмма (h) равна 5 см.
3. Формула площади параллелограмма: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: S = a * h.
4. Найдем сторону параллелограмма (ромба): Теперь нам нужно найти длину стороны параллелограмма (a). Мы знаем, что это ромб, один из углов равен 30°, а высота, опущенная из вершины тупого угла на сторону, равна 5 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба (гипотенузой), высотой (катетом) и частью большей стороны. В этом треугольнике угол напротив высоты равен 30°.
5. Используем тригонометрию: В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. У нас противолежащий катет — это высота (h), а гипотенуза — это сторона ромба (a).
6. Формула: `sin(30°) = h / a`
7. Подставляем известные значения: `sin(30°) = 0.5` (это значение нам известно из таблицы тригонометрических функций).
8. `0.5 = 5 см / a`
9. Вычисляем сторону a: `a = 5 см / 0.5 = 10 см`.
10. Теперь найдем площадь: У нас есть сторона a = 10 см и высота h = 5 см.
11. Формула площади: `S = a * h`
12. Вычисляем площадь: `S = 10 см * 5 см = 50 см²`.

Итого:

• Мы выяснили, что параллелограмм с вписанной окружностью — это ромб.
• Диаметр окружности равен высоте ромба: h = 5 см.
• Используя синус угла 30°, мы нашли длину стороны ромба: a = 10 см.
• Площадь ромба равна произведению стороны на высоту: S = 50 см².

Ответ: 50 см².