6. В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры BE и DF к диагонали AC (см. рис.). Докажите, что BFDE – параллелограмм.

Решение:

Дано: ABCD — параллелограмм, BE ⊥ AC, DF ⊥ AC.

Доказать: BFDE — параллелограмм.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABE \) и \( \triangle CDF \).
2. Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD и \( \angle BAE = \angle DCF \) (как накрест лежащие углы при параллельных AB и CD и секущей AC).
3. Так как BE ⊥ AC и DF ⊥ AC, то \( \angle AEB = \angle CFD = 90^{\circ} \).
4. По гипотенузе и острому углу (по двум углам и общей стороне) \( \triangle ABE = \triangle CDF \).
5. Из равенства треугольников следует, что BE = DF.
6. Рассмотрим четырехугольник BFDE.
7. У него стороны BE и DF параллельны, так как обе перпендикулярны одной прямой AC.
8. У него стороны BE и DF равны (BE = DF).
9. Четырехугольник, у которого одна пара противолежащих сторон параллельна и равна, является параллелограммом.
10. Следовательно, BFDE — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.