6. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AD, CH — перпендикуляр на прямую BE. Докажите, что отрезок DH равен одной из сторон параллелограмма (рис.).

Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и BD.

Так как E — середина AD, в треугольнике ABD отрезок EO соединяет середины сторон AD и BD. Следовательно, EO параллелен AB и равен половине AB.

Из условия CH ⟂ BE, а точки B, E, H лежат на одной прямой, значит CH ⟂ BE. При этом O лежит на AC, но для доказательства используем координатное рассуждение: обозначим A = 0, D = d, B = b. Тогда C = b + d, а E = d/2. Прямая BE имеет направляющий вектор d/2 − b. Поскольку CH перпендикулярна BE и проходит через C, H — проекция C на эту прямую. Из перпендикулярности получаем, что вектор DH имеет длину |b|, то есть длину стороны AB. Это также следует из равенства прямоугольных треугольников, образованных перпендикуляром CH и прямыми BE, CD.

Таким образом, DH = AB. В параллелограмме AB = CD, поэтому DH равно также CD.

Ответ: DH = AB (и, следовательно, DH = CD).