6. В параллелограмме EFGH со сторонами EF = 6 и HE = 8 и диагональю FH = 12 диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{HO}-\overrightarrow{OG}\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(O\) — середина диагонали \(FH\), а \(\overrightarrow{HO}= frac12\overrightarrow{HF}\).

Пусть \(\overrightarrow{EF}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{EH}=\mathbf b\). Тогда \(\overrightarrow{HF}=\mathbf a-\mathbf b\), а поскольку \(O\) — середина диагонали \(EG\), \(\overrightarrow{OG}= frac12(\mathbf a+\mathbf b)\).

Вычтем векторы: \(\overrightarrow{HO}-\overrightarrow{OG}= frac12(\mathbf a-\mathbf b)- frac12(\mathbf a+\mathbf b)=-\mathbf b=\overrightarrow{HE}\). Следовательно, длина искомого вектора равна длине стороны \(HE\), то есть 8.

Ответ: 8.