№ 6. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K$. а) Докажите, что $K$ — середина ребра $SD$. б) Найдите объём пирамиды $SABCD$, если $AB=12$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 6. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB$. Через точку $M$ проведена…$ Фото задания

№ 6. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K$. а) Докажите, что $K$ — середина ребра $SD$. б) Найдите объём пирамиды $SABCD$, если $AB=12$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$.

Accepted Answer

а) Обозначим центр основания через $O$, а высоту пирамиды через $h$. Возьмём координаты $A(-a/2,-a/2,0)$, $B(a/2,-a/2,0)$, $C(a/2,a/2,0)$, $D(-a/2,a/2,0)$, $S(0,0,h)$. Тогда $M(0,-a/2,0)$.

Поскольку $\alpha\parallel(SBC)$, их нормальные векторы одинаковы. Для плоскости $SBC$ нормальный вектор — $(ah,0,a^2/2)$, поэтому уравнение параллельной ей плоскости через $M$ имеет вид $ahx+(a^2/2)z=-a^2h/2$.

Точка на ребре $SD$ записывается как $(-ta/2,ta/2,h(1-t))$, где $0\le t\le1$. Подстановка в уравнение $\alpha$ даёт $-a^2h/2-a^2ht/2+a^2h(1-t)/2=-a^2h/2$, откуда $t=1/2$. Значит, $K$ делит ребро $SD$ пополам и является его серединой.

б) Так как $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$, направляющий вектор $MK$ имеет горизонтальную составляющую длины $a\sqrt{10}/4$ и вертикальную составляющую $h/2$. Поэтому

$\tan 60^\circ=\dfrac{h/2}{a\sqrt{10}/4}=\dfrac{2h}{a\sqrt{10}}.$

При $a=12$: $h=6\sqrt{30}$.

Объём пирамиды равен $V=\frac13 a^2h$. Следовательно, $V=\frac13\cdot12^2\cdot6\sqrt{30}=288\sqrt{30}$.

Ответ: $288\sqrt{30}$ кубических единиц.