6. В прямоугольном параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁, известно, что ДД₁ = 12, СД = 21, АД = 16. Найдите длину диагонали СА₁.

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁:

• Высота DD₁ = AA₁ = BB₁ = CC₁ = 12
• Длина ребра СД = АВ = A₁B₁ = D₁C₁ = 21
• Ширина ребра АД = BC = B₁C₁ = A₁D₁ = 16

Чтобы найти длину диагонали СА₁, воспользуемся теоремой о диагонали прямоугольного параллелепипеда:

d^2 = a^2 + b^2 + c^2

Где:

• d - длина диагонали
• a - длина (например, СД)
• b - ширина (например, АД)
• c - высота (например, ДД₁)

В нашем случае, диагональ СА₁ соединяет вершину C нижней грани с вершиной A₁ верхней грани.

Длины ребер, исходящих из одной вершины (например, из C):

• СD = 21
• CB = 16 (так как CB = AD)
• CC₁ = 12

Тогда длина диагонали СА₁:

CA₁^2 = CD^2 + CB^2 + CC₁^2

CA₁^2 = 21^2 + 16^2 + 12^2

CA₁^2 = 441 + 256 + 144

CA₁^2 = 841

CA₁ = \(\sqrt{841}\)

CA₁ = 29

Ответ: Длина диагонали СА₁ равна 29.