6. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Пусть серединный перпендикуляр к гипотенузе АС пересекает АС в точке М, а катет АВ в точке D. Так как треугольник прямоугольный, центр описанной окружности находится на середине гипотенузы АС. Следовательно, М - середина АС. Треугольник АВC подобен треугольнику MDB. Угол при вершине В равен 90°. Пусть угол С = $$\alpha$$. Тогда угол ВАС = 90° - $$\alpha$$. Угол ВМD = 90°. В треугольнике BDM, угол BDM = 90° - угол DBM. Угол DBC = угол C = $$\alpha$$. Угол ABD = 90° - 2*$$\\alpha$$. Угол, который делится в отношении 4:7, это угол В. Угол В = 90°. Части угла: 4x и 7x. 4x + 7x = 90°. 11x = 90°. x = 90°/11. Меньшая часть = 4x = 360°/11. Большая часть = 7x = 630°/11. Угол, который делится, это угол при катете. Если меньшая часть при катете АВ, то угол ABD = 360°/11. Тогда 90° - 2*$$\\alpha$$ = 360°/11. 2*$$\\alpha$$ = 90° - 360°/11 = (990° - 360°)/11 = 630°/11. $$\\alpha$$ = 315°/11. Если меньшая часть при катете ВС, то угол CBD = 360°/11. Тогда $$\\alpha$$ = 360°/11. Угол при катете ВС равен 360°/11.