6. В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза 125 см и меньший катет 75 см. Основание высоты, проведенной из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезка. На меньшем из отрезков как на диаметре построена полуокружность по сторону с данным треугольником. Определить длину отрезка катета, заключенн внутри этого полукруга.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник \( ABC \), где \( \angle C = 90^{\circ} \). Гипотенуза \( AB = 125 \) см, меньший катет \( AC = 75 \) см.

1. Найдем второй катет \( BC \) по теореме Пифагора: \( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{125^2 - 75^2} = \sqrt{(125-75)(125+75)} = \sqrt{50 \cdot 200} = \sqrt{10000} = 100 \) см.
2. Так как \( AC < BC \) (75 < 100), то \( AC \) — меньший катет.
3. Основание высоты \( CD \) делит гипотенузу \( AB \) на отрезки \( AD \) и \( DB \).
4. Найдем отрезок \( AD \) как проекцию катета \( AC \) на гипотенузу: \( AC^2 = AD \cdot AB \implies 75^2 = AD \cdot 125 \implies AD = \frac{75^2}{125} = \frac{5625}{125} = 45 \) см.
5. Найдем отрезок \( DB \) как проекцию катета \( BC \) на гипотенузу: \( DB = AB - AD = 125 - 45 = 80 \) см.
6. Меньший отрезок гипотенузы — \( AD = 45 \) см. На нем как на диаметре построена полуокружность.
7. Центр полуокружности лежит на середине отрезка \( AD \). Радиус полуокружности \( r = \frac{AD}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \) см.
8. Рассмотрим треугольник \( ACD \). \( CD \) — высота, проведенная из вершины прямого угла. \( CD^2 = AD \cdot DB = 45 \cdot 80 = 3600 \), \( CD = 60 \) см.
9. Треугольник \( ACD \) подобен треугольнику \( CBD \) и треугольнику \( ABC \).
10. Нам нужно найти длину отрезка катета \( AC \), заключенного внутри этой полуокружности. Построим полуокружность с центром в точке \( O \) (середина \( AD \)) и радиусом \( r = 22.5 \) см.
11. Точка \( C \) находится на расстоянии \( AC = 75 \) см от точки \( A \).
12. Найдем расстояние от центра полуокружности \( O \) до точки \( C \). \( O \) — середина \( AD \), следовательно \( AO = OD = 22.5 \) см. \( CD = 60 \) см.
13. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ODC \). \( OC^2 = OD^2 + CD^2 = 22.5^2 + 60^2 = 506.25 + 3600 = 4106.25 \). \( OC = \sqrt{4106.25} = 64.08 \) см.
14. Так как \( OC \approx 64.08 \) см, а радиус полуокружности \( r = 22.5 \) см, то точка \( C \) находится вне полуокружности.
15. Пусть \( K \) — точка пересечения полуокружности с катетом \( AC \).
16. Рассмотрим треугольник \( ACK \). Угол \( CAK \) равен углу \( CAB \). \( \textrm{cos}(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5} = 0.6 \).
17. Пусть \( AK = x \) — искомый отрезок.
18. В треугольнике \( AKO \) (где \( O \) — центр полуокружности), \( AO = 22.5 \), \( KO = 22.5 \).
19. Из подобия треугольников \( ACK \) и \( ABC \) (или \( ACD \)), нам нужно найти точку \( K \) на \( AC \) такую, что \( K \) лежит на полуокружности.
20. Для точки \( K \) на \( AC \) расстояние от \( O \) до \( K \) должно быть равно радиусу \( r = 22.5 \). \( K \) лежит на \( AC \).
21. Пусть \( AK = x \). Тогда \( K \) имеет координаты \( (x \cos(\angle CAB), x \sin(\angle CAB)) \) если \( A \) — начало координат. \( \textrm{sin}(\angle CAB) = \sqrt{1 - \textrm{cos}^2(\angle CAB)} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8 \).
22. Координаты \( A = (0,0) \). \( C = (75, 0) \) (если \( AC \) на оси X), \( B = (75, 100) \). \( AB = \sqrt{75^2 + 100^2} = \sqrt{5625 + 10000} = \sqrt{15625} = 125 \).
23. Пусть \( A \) — начало координат, \( AC \) — по оси x, \( AB \) — вектор. \( A = (0,0) \). \( C = (75, 0) \). \( B = (75, 100) \). Неверно.
24. Пусть \( A \) — начало координат. \( AC \) вдоль оси X. \( A = (0,0) \). \( C = (75, 0) \). \( B \) имеет координаты \( (x_B, y_B) \) такие, что \( x_B^2 + y_B^2 = 125^2 \) и \( (x_B-75)^2 + y_B^2 = 100^2 \).
25. Пусть \( A \) — вершина прямого угла. \( AB \) — гипотенуза. \( C \) — вершина прямого угла. \( A \) и \( B \) — вершины острого угла.
26. В прямоугольном треугольнике \( ABC \), \( \textrm{cos} A = \frac{AC}{AB} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5} \), \( \textrm{sin} A = \frac{BC}{AB} = \frac{100}{125} = \frac{4}{5} \).
27. Отрезок \( AD = 45 \) см. Центр полуокружности \( O \) — середина \( AD \). \( AO = 22.5 \) см.
28. Пусть \( K \) — точка пересечения катета \( AC \) с полуокружностью. \( AK = x \).
29. В треугольнике \( AKO \), \( AO = 22.5 \), \( KO = 22.5 \). \( \textrm{cos} A = 0.6 \). \( \textrm{sin} A = 0.8 \).
30. Проекция \( AO \) на \( AC \) равна \( AO \textrm{cos} A = 22.5 \times 0.6 = 13.5 \).
31. Проекция \( KO \) на \( AC \) равна \( KO \textrm{cos} A = 22.5 \times 0.6 = 13.5 \).
32. Расстояние от \( A \) до проекции \( O \) на \( AC \) равно 13.5.
33. Расстояние от \( A \) до проекции \( K \) на \( AC \) должно быть таким, чтобы \( K \) лежала на полуокружности.
34. Пусть \( K \) — точка на \( AC \). \( AK = x \).
35. Координаты \( A = (0,0) \). \( C = (75,0) \). \( O = (22.5, 0) \) — центр полуокружности, если \( AD \) на оси X.
36. Но \( AD \) — отрезок гипотенузы. \( A \) — одна из вершин острого угла. \( D \) — основание высоты.
37. Пусть \( A=(0,0) \). \( C=(75,0) \). \( B=(x_B, y_B) \). \( x_B^2+y_B^2 = 125^2 \). \( (x_B-75)^2+y_B^2=100^2 \). \( x_B^2-150x_B+5625+y_B^2=10000 \). \( 15625-150x_B+5625=10000 \). \( 21250-150x_B=10000 \). \( 150x_B = 11250 \). \( x_B = \frac{11250}{150} = 75 \). \( y_B^2 = 125^2 - 75^2 = 10000 \). \( y_B = 100 \). \( B = (75, 100) \). Это если \( AC \) на оси X. \( BC=100 \). \( AC=75 \). \( AB=125 \). \( \textrm{cos} A = 75/125 = 3/5 \). \( \textrm{sin} A = 100/125 = 4/5 \).
38. Пусть \( A \) — начало координат. \( AC \) вдоль оси X. \( C = (75, 0) \). \( B = (75, 100) \). \( AB = \sqrt{75^2+100^2}=125 \).
39. Высота \( CD \) перпендикулярна \( AB \). Уравнение \( AB \): \( y = \frac{100}{75}x = \frac{4}{3}x \). \( 4x - 3y = 0 \).
40. Расстояние от \( C(75,0) \) до \( AB \). \( d = \frac{|4(75)-3(0)|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{300}{5} = 60 \). Это \( CD \).
41. Точка \( D \) — основание высоты. \( D \) лежит на \( AB \). \( AD = 45 \). \( D = (45 \textrm{cos} A, 45 \textrm{sin} A) = (45 \times 3/5, 45 \times 4/5) = (27, 36) \).
42. \( A=(0,0) \), \( D=(27,36) \). Центр полуокружности \( O \) — середина \( AD \). \( O = (13.5, 18) \). Радиус \( r = 22.5 \).
43. Катет \( AC \) лежит на оси X. \( A=(0,0) \), \( C=(75,0) \).
44. Уравнение полуокружности: \( (x-13.5)^2 + (y-18)^2 = 22.5^2 = 506.25 \) и \( y \ge 0 \).
45. Нас интересует пересечение с отрезком \( AC \), который лежит на оси X \( y=0 \).
46. \( (x-13.5)^2 + (0-18)^2 = 506.25 \)
47. \( (x-13.5)^2 + 324 = 506.25 \)
48. \( (x-13.5)^2 = 506.25 - 324 = 182.25 \)
49. \( x - 13.5 = \textrm{pm} \textrm{sqrt}(182.25) = \textrm{pm} 13.5 \)
50. \( x - 13.5 = 13.5 \textrm{ or } x - 13.5 = -13.5 \)
51. \( x = 27 \textrm{ or } x = 0 \)
52. \( x=0 \) — точка \( A \). \( x=27 \) — точка \( K \).
53. Эта точка \( K=(27,0) \) лежит на отрезке \( AC \) (от 0 до 75).
54. Значит, отрезок катета \( AC \), заключенный внутри полукруга, равен \( AK = 27 \) см.

Ответ: 27 см.