6. В прямоугольном треугольнике МОК из точки В гипотенузы МК проведен перпендикуляр BD к стороне МО. Найдите длину катета ОК, если BD = 6 см, МК = 21 см, ВК = 12 см.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Она про прямоугольный треугольник, и нам нужно будет немного подумать, чтобы найти нужную длину.

Дано:

• \[ \triangle МОК \] — прямоугольный
• \[ BD \perp МО \],
  $$D$$ на $$МО$$
• \[ BD = 6
  \text{ см} \]
• \[ МК = 21
  \text{ см} \]
• \[ ВК = 12
  \text{ см} \]

Найти:

• \[ ОК \]

Решение:

1. Сначала найдем длину отрезка $$BK$$.
   Мы знаем, что
   $$МК = 21$$ см и $$ВК = 12$$ см. Так как $$В$$ лежит на гипотенузе $$МК$$, то
   $$МВ = МК - ВК = 21 - 12 = 9$$ см.
2. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике.
   В прямоугольном треугольнике $$МОК$$ проведена высота $$BD$$ к гипотенузе. По теореме о среднем пропорциональном (или просто свойствах подобных треугольников, которые образуются высотой), квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. В нашем случае это не совсем так, так как $$BD$$ проведена к катету $$МО$$, а не к гипотенузе $$МК$$.
3. Рассмотрим подобные треугольники.
   Так как
   $$BD
   \text{ перпендикулярно} МО$$, то
   $$\triangle МBD
   \text{ подобен}
   \triangle МОК$$. Это значит, что отношение их сторон равно.
   Из подобия следует:
   $$\frac{MB}{MK} = \frac{BD}{OK} = \frac{MD}{MO}$$
4. Найдем длину $$ОК$$.
   Из подобия
   $$\triangle МBD
   \text{ и}
   \triangle МОК$$ мы можем записать отношение сторон:
   $$\frac{MB}{MK} = \frac{BD}{OK}$$
   Подставим известные значения:
   $$\frac{9}{21} = \frac{6}{OK}$$
   Теперь найдем
   $$OK$$:
   $$OK = \frac{6 \times 21}{9} = \frac{126}{9} = 14$$
   Итак, длина катета $$ОК$$ равна 14 см.

Ответ: 14 см.