6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол C равен 80°. Отрезок MN проведён так, что ∠CAN = 40° и MN\АС. Найдите ∠BMN. Докажите, что ΔAMN равнобедренный.

Решение:

1. Находим углы треугольника ABC:
   • Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: = = 80°.
   • Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому = 180° - (80° + 80°) = 180° - 160° = 20°.
2. Доказываем, что ΔAMN равнобедренный:
   • Так как MN || AC, то (как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).
   • Значит, = 40°.
   • В треугольнике AMN: = 20° (из п. 1), = 40° (из п. 2).
   • = 180° - ( + ) = 180° - (20° + 40°) = 180° - 60° = 120°.
   • В треугольнике AMN углы = 20° и = 120° не равны, значит, треугольник AMN не равнобедренный.
3. Находим ∠BMN:
   • (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AN).
   • Значит, = 80°.
   • (как смежные углы).
   • = 180° - = 180° - 120° = 60°.

Ответ: ∠BMN = 60°. Треугольник AMN не является равнобедренным, так как его углы составляют 20°, 40° и 120°.