6. В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 5/13. Найдите синус угла при вершине.

Решение:

Пусть \( \alpha \) — угол при основании равнобедренного треугольника, а \( \beta \) — угол при вершине.

По условию, \( \sin(\alpha) = \frac{5}{13} \).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \alpha = \alpha \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( 2\alpha + \beta = 180^{\circ} \).

Отсюда \( \beta = 180^{\circ} - 2\alpha \).

Найдем \( \cos(\alpha) \) используя основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \).

\( \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \).

Так как \( \alpha \) — угол треугольника, то \( \alpha < 180^{\circ} \). В равнобедренном треугольнике углы при основании острые, поэтому \( \cos(\alpha) > 0 \).

\( \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \).

Теперь найдем \( \sin(\beta) \):

\( \sin(\beta) = \sin(180^{\circ} - 2\alpha) \).

Используем формулу синуса разности и формулу косинуса двойного угла: \( \sin(180^{\circ} - x) = \sin(x) \) и \( \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \).

\( \sin(\beta) = \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \).

Подставляем известные значения:

\( \sin(\beta) = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{2 × 5 × 12}{13 × 13} = \frac{120}{169} \).

Ответ: синус угла при вершине равен \( \frac{120}{169} \).