6. В ромбе ABCD диагонали AC = 12 см и BD = 16 см. Точки M, N, K и L — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что MNKL — прямоугольник, и найдите его периметр.

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC. По теореме о средней линии \(MN \parallel AC\) и \(MN = \frac{AC}{2} = 6\) см.

Аналогично, в треугольнике BCD отрезок NK — средняя линия: \(NK \parallel BD\), \(NK = \frac{BD}{2} = 8\) см. В треугольниках CDA и DAB получаем \(KL \parallel AC\), \(KL = 6\) см, и \(LM \parallel BD\), \(LM = 8\) см.

Следовательно, противоположные стороны MN и KL параллельны, как и NK и LM, поэтому MNKL — параллелограмм. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит, \(AC \perp BD\). Так как стороны MNKL параллельны этим диагоналям, соседние стороны MN и NK перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Его периметр: \(P = 2(MN + NK) = 2(6 + 8) = 28\) см.

Ответ: MNKL — прямоугольник; его периметр равен 28 см.