6. В таблице 4 × 4 выписаны по одному разу числа от 1 до 16 так, что любые два числа, отличающиеся на 1, записаны в соседних клетках. Докажите, что произведение чисел в угловых клетках кратно 4.

Пронумеруем числа в порядке их расположения, начиная с 1. Клетки для каждого соседнего числа должны быть соседними, поэтому числа образуют путь по клеткам таблицы.

Утверждение в таком виде неверно. Например, заполнение по строкам «змейкой» удовлетворяет условию:

Каждая пара чисел, отличающихся на 1, стоит в соседних клетках. Угловые числа — 1, 4, 13 и 16, а их произведение равно \(1\cdot4\cdot13\cdot16=832\), что делится на 4.

Но есть и другое допустимое заполнение — обход клеток по спирали: в углах окажутся 1, 4, 13 и 16 также; однако условие допускает пути, где в углах стоят 1, 2, 15, 16? Нужна конкретная проверка. Сам контрпример невозможен по утверждению нельзя просто заявить. На самом деле четность углов: два угла содержат числа одной четности и два другой; два угловых четных числа могут быть не кратны 4, что не гарантируется без дополнительного аргумента.

Ответ: приведённый пример подтверждает делимость, но не доказывает утверждение для всех таблиц; для доказательства либо опровержения в общем случае нужны дополнительные рассуждения.