6. В тетрадь записаны последовательные целые числа от 1 до 101 ручками двух цветов: красной и синей. Оказалось, что наибольшее число, записанное синим цветом, равно количеству чисел, записанных красным цветом. А наименьшее число, записанное красным цветом, равно половине количества чисел, записанных красным цветом. Сколько чисел записано красным цветом?

Обозначим количество красных чисел через \(r\). По условию наименьшее красное число равно половине их количества, то есть \(r/2\). Поскольку красные числа выбираются из целых чисел от 1 до 101, их наименьшее число не меньше 1. Значит, \(r/2\geq1\), то есть \(r\geq2\).

Наибольшее синее число равно \(r\). Если среди чисел от 1 до 101 есть синее число \(r\), то все числа больше \(r\) должны быть красными. Их количество равно \(101-r\), поэтому необходимо \(r\geq101-r\), или \(r\geq51\). При этом наименьшее красное число должно быть \(r/2\); числа от \(r/2\) до 101, кроме возможного числа \(r\text{-го}\text{?}\), нельзя напрямую подсчитать без дополнительных ограничений раскраски. Однако условие о наибольшем синем числе означает, что все числа \(r+1,\ldots,101\) красные, а числа \(1,\ldots,r\) могут иметь любой цвет при наличии хотя бы одного синего числа \(r\).

При \(r\geq51\) числа \(r+1,\ldots,101\) уже дают \(101-r\) красных чисел, но чтобы всего было \(r\), нужно дополнительно выбрать красными \(2r-101\) чисел из первых \(r\). Также наименьшее красное число должно быть \(r/2\), поэтому \(r\) чётно, все числа меньше \(r/2\) синие, а число \(r/2\) красное. Условие выполнимо для нескольких значений: например, при \(r=52\) можно получить 52 красных числа, и при \(r=54\) — 54 красных числа. Следовательно, данных недостаточно для единственного ответа.

Ответ: однозначно определить нельзя; возможны, например, 52 и 54 красных числа.