6. В треугольнике ABC биссектриса AD пересекает сторону BC в точке D. Известно, что AB + BD = AC. Доказать, что ∠ABC = 2∠ACB.

Обозначим \(AB=c\), \(AC=b\), \(BC=a\), \(BD=x\). По условию \(b=c+x\), поэтому \(x=b-c\).

Так как \(AD\) — биссектриса, по теореме о биссектрисе:

\[\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.\]

Следовательно,

\[DC=\frac{b}{c}x,\qquad a=BD+DC=x\left(1+\frac bc\right)=\frac{x(b+c)}c=\frac{b^2-c^2}{c}.\]

По теореме косинусов для угла \(C=\angle ACB\):

\[\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\]

Подставим \(a=\frac{b^2-c^2}{c}\):

\[\cos C=\frac{\frac{(b^2-c^2)^2}{c^2}+b^2-c^2}{2b\cdot\frac{b^2-c^2}{c}}=\frac{b}{2c}.\]

Для угла \(B=\angle ABC\):

\[\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}. \]

После подстановки получаем:

\[\cos B=2\cos^2 C-1=\cos 2C.\]

Так как углы треугольника лежат между \(0^\circ\) и \(180^\circ\), отсюда \(B=2C\).

Ответ: \(\angle ABC=2\angle ACB\).