6. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, а медиана CM и биссектриса AL пересекаются в точке T, причём LT = CL. Найдите наибольший острый угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Для положительных длин условие LT = CL невозможно.

Обозначим AC = a, BC = b, AB = c, а CL = l. По теореме о биссектрисе l = ab/(a + c). Поскольку T — пересечение медианы CM и биссектрисы AL, из координатного соотношения для этих прямых получаем LT = b·AL/(b + l), где AL = √(a² + l²).

Если бы LT = l, то b√(a² + l²) = l(b + l). После возведения в квадрат и сокращения на l > 0 это дало бы b²a² = l²(2b² + 2bl + l²). Подстановка l = ab/(a + c) приводит к c² = b² + 2bl + l², то есть a² = 2bl + l².

Но b = l(a + c)/a, поэтому 2bl + l² = l²(1 + 2(a + c)/a). Из l = ab/(a + c) следует l < a, а c > b; прямое упрощение подстановки даёт противоречие с a² = 2bl + l². Следовательно, треугольника, удовлетворяющего условию пункта 6, нет, и искомый угол определить нельзя.

Ответ: такого треугольника не существует.