6. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 96 и BC = BM. Найдите AH.

Так как \(BM\) — медиана, точка \(M\) является серединой \(AC\): \(AM = MC = 48\).

Обозначим \(AH = x\). Тогда \(HC = 96 - x\).

По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников \(ABH\) и \(BCH\):

\(AB^2 = BH^2 + x^2\), \(BC^2 = BH^2 + (96-x)^2\).

Поскольку \(BC = BM\), а \(HM = 48-x\), имеем:

\(BH^2 + (96-x)^2 = BH^2 + (48-x)^2 + (48-x)^2\).

Сократим \(BH^2\):

\((96-x)^2 = 2(48-x)^2\).

Так как длины положительны, \(96-x = \sqrt{2}(48-x)\). Решая уравнение, получаем:

\(x = 48(2-\sqrt{2})\).

Ответ: \(48(2-\sqrt{2})\).