6 В центре города построен красивый фонтан (точка О), окружённый круглой площадью. Площадь касается двух аллей, которые пересекаются друг с другом под острым углом в точке А. Определите величину острого угла, образованного двумя аллеями, если расстояние от фонтана до точки пересечения аллей равно 8, а радиус круглой площади равен 4. Дано: Решение:

Решение:

1. Построение чертежа: Представим фонтан как точку О, центр круглой площади. Радиус площади равен 4. Аллеи пересекаются в точке А. Площадь касается обеих аллей.
2. Рассмотрим треугольник: Точка О (фонтан), точка А (пересечение аллей) и точки касания аллей с площадью образуют треугольники. Пусть точки касания будут T1 и T2.
3. Свойство касательной: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Значит, OT1 перпендикулярно аллее 1, и OT2 перпендикулярно аллее 2.
4. Рассмотрим прямоугольные треугольники: Треугольник OT1A и OT2A являются прямоугольными (угол OT1A = угол OT2A = 90 градусов).
5. Сравнение треугольников:
• OT1 = OT2 = 4 (радиус окружности).
• OA = 8 (расстояние от фонтана до точки пересечения аллей - дано).
• OA - общая гипотенуза.
6. По теореме Пифагора (или свойствам прямоугольного треугольника с катетом, равным половине гипотенузы): В прямоугольном треугольнике, если катет равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30 градусам.
• В треугольнике OT1A, катет OT1 = 4, гипотенуза OA = 8.
• Следовательно, угол OAT1 = 30 градусов.
• Аналогично, в треугольнике OT2A, угол OAT2 = 30 градусов.
7. Нахождение угла между аллеями: Угол между аллеями (угол BAC, где B и C - точки на аллеях) равен удвоенному углу OAT1 (или OAT2), так как OA является биссектрисой угла BAC (из симметрии).
8. Расчет: Угол BAC = 2 * угол OAT1 = 2 * 30 градусов = 60 градусов.

Ответ: 60°