6. В центре обработки данных по связи с Землёй поставили 4 новые серверные стойки, принадлежавшие разным странам Земли. По требованию отдела информационной безопасности для каждой стойки необходимо назначить одного основного и одного резервного администратора из трёх нанятых для работы в отделе с новыми стойками. Дополнительно действуют правила: 1) каждый администратор является основным администратором как минимум для одной стойки; 2) никто не может быть резервным администратором более чем для двух стоек; 3) на одной и той же стойке администратор не может быть одновременно основным и резервным. Сколькими способами можно распределить трёх администраторов по четырём разным стойкам при выполнении всех условий?

Рассмотрим роли основного и резервного администратора отдельно. Для четырёх различных стоек назначение основных администраторов — это функция из четырёх стоек в трёх администраторов, в которой каждый администратор встречается хотя бы раз. Значит, распределение основных ролей имеет тип частот (2,1,1): выбираем администратора с двумя стойками — 3 способа, а стойку, назначаемую ему среди четырёх, — 4 способа. Две оставшиеся стойки получают двух разных администраторов из оставшихся — 2 способа. Итого 24 назначения основных администраторов.

Зафиксируем любое такое назначение. У каждого администратора должно быть не более двух резервных стоек, а резервный администратор на каждой стойке не может совпадать с основным. Перебор допустимых распределений по числу резервных назначений каждому администратору даёт 17 вариантов, удовлетворяющих ограничению «не более двух». Это число одинаково для каждого назначения основных администраторов: оно зависит только от частот (2,1,1), а выбор конкретных имён и стоек лишь переименовывает элементы.

Следовательно, общее число способов равно произведению числа основных распределений на число допустимых резервных распределений:

24 × 17 = 408.

Ответ: 408 способов.