6 Векторы а и b не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенствам: а) 3a - xb = ya + b; б) 4a - xa + 5b + yb = 0; в) xa + 3b - yb = 0; г) a + b - 3ya + xb = 0.

Решение:

Так как векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то равенство \( p\vec{a} + q\vec{b} = 0 \) выполняется только при \( p = 0 \) и \( q = 0 \).

а) \( 3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b} \)

1. Перенесём все члены в одну сторону: \( 3\vec{a} - y\vec{a} - x\vec{b} - \vec{b} = \vec{0} \)
2. Вынесем \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) за скобки: \( (3-y)\vec{a} - (x+1)\vec{b} = \vec{0} \)
3. Приравниваем коэффициенты при \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) к нулю:
4. \( 3-y = 0 \implies y = 3 \)
5. \( -(x+1) = 0 \implies x+1 = 0 \implies x = -1 \)

б) \( 4\vec{a} - x\vec{a} + 5\vec{b} + y\vec{b} = 0 \)

1. Вынесем \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) за скобки: \( (4-x)\vec{a} + (5+y)\vec{b} = \vec{0} \)
2. Приравниваем коэффициенты при \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) к нулю:
3. \( 4-x = 0 \implies x = 4 \)
4. \( 5+y = 0 \implies y = -5 \)

в) \( x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = 0 \)

1. Вынесем \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) за скобки: \( x\vec{a} + (3-y)\vec{b} = 0 \)
2. Приравниваем коэффициенты при \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) к нулю:
3. \( x = 0 \)
4. \( 3-y = 0 \implies y = 3 \)

г) \( \vec{a} + \vec{b} - 3y\vec{a} + x\vec{b} = 0 \)

1. Перенесём все члены в одну сторону: \( \vec{a} - 3y\vec{a} + \vec{b} + x\vec{b} = \vec{0} \)
2. Вынесем \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) за скобки: \( (1-3y)\vec{a} + (1+x)\vec{b} = 0 \)
3. Приравниваем коэффициенты при \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) к нулю:
4. \( 1-3y = 0 \implies 3y = 1 \implies y = \frac{1}{3} \)
5. \( 1+x = 0 \implies x = -1 \)

Ответ: а) \( x = -1, y = 3 \); б) \( x = 4, y = -5 \); в) \( x = 0, y = 3 \); г) \( x = -1, y = \frac{1}{3} \).