6. Все натуральные числа от 1 до 12² последовательно в порядке возрастания расставлены в клетки таблицы размером 12×12. Как нужно вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была бы четной? Для решения этой задачи нет необходимости точно считать суммы. Необходимо привести подробное обоснование, т.е. объяснить почему именно так надо вычеркивать (частные случаи как общего доказательство утверждения принимаются) и четко сформулировать общее правило вычеркивания.

Решение:

Общая сумма всех чисел в таблице равна сумме арифметической прогрессии от 1 до 144:

\( S_{144} = \frac{144 \cdot (1 + 144)}{2} = \frac{144 \cdot 145}{2} = 72 \cdot 145 = 10440 \)

Сумма 10440 является четным числом.

Когда мы вычеркиваем одну строку и один столбец, мы убираем 12 чисел из строки и 12 чисел из столбца. Однако, число на пересечении строки и столбца будет вычеркнуто дважды. Поэтому общее количество вычеркнутых чисел равно \( 12 + 12 - 1 = 23 \).

Чтобы сумма оставшихся чисел была четной, сумма вычеркнутых чисел должна быть четной (так как Четное - Четное = Четное, и Четное - Нечетное = Нечетное).

Пусть \( r \) — номер вычеркнутой строки, а \( c \) — номер вычеркнутого столбца. Сумма чисел в \( r \)-й строке равна:

\( S_r = \sum_{i=1}^{12} (12(r-1) + i) = 12 \cdot 12(r-1) + \frac{12 \cdot 13}{2} = 144(r-1) + 78 \)

Сумма чисел в \( c \)-м столбце равна:

\( S_c = \sum_{j=1}^{12} (12(j-1) + c) = 12 \cdot \frac{12 \cdot 13}{2} + 12c = 78 + 12c \)

Число на пересечении \( r \)-й строки и \( c \)-го столбца равно \( 12(r-1) + c \).

Сумма вычеркнутых чисел \( S_{Выч} \) равна:

\( S_{Выч} = S_r + S_c - (12(r-1) + c) = 144(r-1) + 78 + 78 + 12c - 12(r-1) - c \)

\( S_{Выч} = 132(r-1) + 11c + 156 \)

Чтобы \( S_{Выч} \) была четной, нам нужно, чтобы \( 132(r-1) + 11c + 156 \) было четным. Так как \( 132(r-1) \) и \( 156 \) всегда четные, то четность \( S_{Выч} \) зависит от \( 11c \).

Если \( c \) — четное число (2, 4, 6, 8, 10, 12), то \( 11c \) — четное. Тогда \( S_{Выч} \) = Четное + Четное + Четное = Четное.

Если \( c \) — нечетное число (1, 3, 5, 7, 9, 11), то \( 11c \) — нечетное. Тогда \( S_{Выч} \) = Четное + Нечетное + Четное = Нечетное.

Следовательно, для того чтобы сумма оставшихся чисел была четной, необходимо вычеркнуть столбец с четным номером.

Номер строки \( r \) не влияет на четность суммы вычеркнутых чисел.

Общее правило вычеркивания:

Необходимо вычеркнуть один столбец с четным номером (2, 4, 6, 8, 10, 12) и любую строку.

Пример:

Вычеркнем 2-ю строку и 2-й столбец.

Сумма чисел во 2-й строке: \( 13+14+...+24 = 144(2-1) + 78 = 144 + 78 = 222 \).

Сумма чисел во 2-м столбце: \( 2+14+26+38+50+62+74+86+98+110+122+134 = 78 + 12 \times 2 = 78 + 24 = 102 \).

Число на пересечении (2-я строка, 2-й столбец) = 14.

Сумма вычеркнутых чисел = \( 222 + 102 - 14 = 324 - 14 = 310 \) (четное).

Сумма оставшихся чисел = \( 10440 - 310 = 10130 \) (четное).

Ответ: Нужно вычеркнуть любую строку и столбец с четным номером (2, 4, 6, 8, 10, 12).