6. Вычислите f'(π/6), если f(x) = 2 ctg (5x - π/3)

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) = 2 \text{ctg} \left( 5x - \frac{\pi}{3} \right) \).
2. Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x) \).
3. Производная \( \text{ctg}(u) \) равна \( -\frac{1}{\sin^2 u} \).
4. Производная \( 5x - \frac{\pi}{3} \) по \( x \) равна \( 5 \).
5. Таким образом, производная \( f'(x) \) будет:

\( f'(x) = 2 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 \left( 5x - \frac{\pi}{3} \right)} \right) \cdot 5 \)

\( f'(x) = -\frac{10}{\sin^2 \left( 5x - \frac{\pi}{3} \right)} \)

Теперь вычислим значение производной в точке \( x = \frac{\pi}{6} \).

\( 5x - \frac{\pi}{3} = 5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \)

\( \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \)

\( \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1^2 = 1 \)

Подставляем в выражение для \( f'(x) \):

\( f'\left( \frac{\pi}{6} \right) = -\frac{10}{1} = -10 \)

Ответ: -10.