6. Вычислите f'(pi/6), если f(x) = 2ctg(5x - pi/3)

Решение:

Для вычисления производной функции \( f(x) = 2\cot(5x - \frac{\pi}{3}) \) сначала найдём её производную \( f'(x) \).

Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x) \) и \( (\cot(u(x)))' = -\frac{1}{\sin^2(u(x))} \cdot u'(x) \).

1. Возьмём производную от \( f(x) \):
   \( f'(x) = \left( 2\cot(5x - \frac{\pi}{3}) \right)' \)
2. Применим правило для константы: \( f'(x) = 2 \left( \cot(5x - \frac{\pi}{3}) \right)' \)
3. Найдем производную от \( \cot(5x - \frac{\pi}{3}) \). Пусть \( u(x) = 5x - \frac{\pi}{3} \). Тогда \( u'(x) = 5 \).
   \( \left( \cot(5x - \frac{\pi}{3}) \right)' = -\frac{1}{\sin^2(5x - \frac{\pi}{3})} \cdot 5 = -\frac{5}{\sin^2(5x - \frac{\pi}{3})} \)
4. Подставим обратно в выражение для \( f'(x) \):
   \( f'(x) = 2 \cdot \left( -\frac{5}{\sin^2(5x - \frac{\pi}{3})} \right) = -\frac{10}{\sin^2(5x - \frac{\pi}{3})} \)
5. Теперь вычислим значение производной в точке \( x = \frac{\pi}{6} \):
   \( f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{10}{\sin^2(5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3})} \)
6. Вычислим аргумент синуса: \( 5 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \)
7. Подставим значение аргумента: \( f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{10}{\sin^2(\frac{\pi}{2})} \)
8. Значение \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \).
   \( f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{10}{1^2} = -10 \)

Ответ: -10