6. Вычислите. Введите ответ в предложенное ниже поле. В ответе укажите только число без пробелов. В окружности с центром в точке О проведены диаметр KN и хорда MN. Найдите радиус этой окружности, если MN = 9√3, ∠MNK = 30°.

Краткая запись:

• Окружность с центром O
• Диаметр KN
• Хорда MN = 9√3
• Угол ∠MNK = 30°
• Найти: Радиус R — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, что треугольник MNK является прямоугольным, так как угол ∠MNK опирается на диаметр KN.
2. Шаг 2: Угол ∠MKN является вписанным углом, опирающимся на дугу MN. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен ∠MON. Угол ∠MNK = 30°.
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике MNK, угол ∠MK N = 90° - ∠MNK = 90° - 30° = 60°.
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник MON. Так как KN — диаметр, а O — центр окружности, то ON = OM = R (радиус). Треугольник MON — равнобедренный.
5. Шаг 5: Угол ∠MON — центральный угол, опирающийся на дугу MN. Он равен удвоенному вписанному углу ∠MKN. ∠MON = 2 * ∠MKN = 2 * 60° = 120°.
6. Шаг 6: В равнобедренном треугольнике MON, проведем высоту из O к MN, которая разделит ∠MON пополам и будет перпендикулярна MN. Высота делит основание MN пополам.
7. Шаг 7: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды MN и высотой. Угол при центре будет 120°/2 = 60°. Половина хорды MN/2 = (9√3)/2.
8. Шаг 8: Используем тригонометрию в этом прямоугольном треугольнике: sin(60°) = (MN/2) / R.
9. Шаг 9: Подставляем известные значения: \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}/2}{R} \).
10. Шаг 10: Решаем уравнение относительно R: \( R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \). Умножаем обе части на 2: \( R \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \). Делим обе части на \( \sqrt{3} \): \( R = 9 \).

Ответ: 9