6. Задача на доказательство. Дан тетраэдр $SABC$. Точка $M$ — середина ребра $SA$, точка $N$ — середина ребра $SC$, точка $K$ — середина ребра $BC$. Докажите, что прямые $MN$ и $BK$ являются скрещивающимися.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Задача на доказательство. Дан тетраэдр $SABC$. Точка $M$ — середина ребра $SA$, точка $N$ — середина ребра $SC$,…$ Фото задания

6. Задача на доказательство. Дан тетраэдр $SABC$. Точка $M$ — середина ребра $SA$, точка $N$ — середина ребра $SC$, точка $K$ — середина ребра $BC$. Докажите, что прямые $MN$ и $BK$ являются скрещивающимися.

Accepted Answer

По теореме о средней линии треугольника $SAC$, поскольку $M$ и $N$ — середины сторон $SA$ и $SC$, имеем $MN\parallel AC$.

Точка $K$ — середина ребра $BC$, поэтому $B,K,C$ лежат на одной прямой и прямая $BK$ совпадает с прямой $BC$.

Прямые $AC$ и $BC$ пересекаются в точке $C$. Следовательно, они не параллельны, а значит, $MN$ и $BK$ также не параллельны. При этом $MN$ лежит в плоскости $SAC$, а $BK=BC$ пересекает эту плоскость только в точке $C$; точка $C$ не принадлежит $MN$, поскольку $MN\parallel AC$ и не совпадает с $AC$. Поэтому прямые не пересекаются. Непараллельные и непересекающиеся прямые в пространстве являются скрещивающимися.

Что требовалось доказать.

Ответ: