60. Найдите величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если: 1) сумма двух из них равна 98°; 2) разность двух из них равна 58°; 3) все углы равны между собой; 4) сумма трех из них равна 286°.

Решение:

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Два угла равны между собой (вертикальные), и еще два угла равны между собой (вертикальные). Смежные углы в сумме дают 180°.

1) Сумма двух из них равна 98°

Возможны два случая:

1. Сумма двух смежных углов равна 98°. Это невозможно, так как сумма смежных углов всегда равна 180°.
2. Сумма двух не смежных углов равна 98°. Эти углы могут быть:
   
   • Смежные углы. Пусть меньший угол равен \( x \). Тогда больший угол равен \( 180° - x \). Их сумма \( x + (180° - x) = 180° \). Условие 98° не выполняется.
   • Вертикальные углы. Если сумма двух вертикальных углов равна 98°, то каждый из них равен \( 98° / 2 = 49° \). Тогда смежные с ними углы будут равны \( 180° - 49° = 131° \).

   Проверка: \( 49° + 131° = 180° \) (смежные), \( 49° + 49° = 98° \) (условие), \( 131° + 131° = 262° \) (вертикальные).

Ответ для 1): Углы равны 49°, 131°, 49°, 131°.

2) Разность двух из них равна 58°

Рассмотрим два варианта:

1. Разность двух смежных углов равна 58°. Пусть один угол \( x \), другой \( 180° - x \).
• \( (180° - x) - x = 58° \)
• \( 180° - 2x = 58° \)
• \( 2x = 180° - 58° \)
• \( 2x = 122° \)
• \( x = 61° \) (меньший угол)
• \( 180° - x = 180° - 61° = 119° \) (больший угол)
2. Разность двух вертикальных углов равна 58°. Это невозможно, так как вертикальные углы равны.

Ответ для 2): Углы равны 61°, 119°, 61°, 119°.

3) Все углы равны между собой

При пересечении двух прямых углы могут быть равны только в случае, если прямые перпендикулярны.

\( 180° / 2 = 90° \)

Ответ для 3): Все углы равны 90°.

4) Сумма трех из них равна 286°

Пусть два равных угла равны \( x \) (вертикальные), а третий угол равен \( y \) (смежный с \( x \)).

Возможны два случая:

1. Два вертикальных угла и один смежный с ними.
• \( x + x + y = 286° \)
• \( 2x + y = 286° \)
• Так как \( y \) смежный с \( x \), то \( y = 180° - x \).
• Подставляем: \( 2x + (180° - x) = 286° \)
• \( x + 180° = 286° \)
• \( x = 286° - 180° \)
• \( x = 106° \)
• Тогда \( y = 180° - 106° = 74° \).
• Углы: 106°, 74°, 106°, 74°. Проверка: \( 106° + 106° + 74° = 286° \). Условие выполнено.
2. Три угла, два из которых вертикальные, а третий — один из оставшихся.
• То есть, \( x + y + x = 286° \). Это тот же случай, что и первый.
3. Три угла, два из которых смежные, а третий — вертикальный к одному из них.
• \( x + y + x = 286° \) - это случай 1.
• \( x + y + y = 286° \)
• \( x + 2y = 286° \)
• \( x = 180° - y \)
• \( (180° - y) + 2y = 286° \)
• \( 180° + y = 286° \)
• \( y = 286° - 180° \)
• \( y = 106° \)
• \( x = 180° - 106° = 74° \).
• Углы: 74°, 106°, 74°, 106°. Проверка: \( 74° + 106° + 106° = 286° \). Условие выполнено.

Ответ для 4): Углы равны 106°, 74°, 106°, 74°.