603. Доказать тождество: 1) $(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=\sin^2\alpha$; 2) $(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=\cos^2\alpha$; 3) $\dfrac{\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}= g^2\alpha$; 4) $\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\ctg^2\alpha$; 5) $\dfrac{1}{1+ g^2\alpha}+\sin^2\alpha=1$; 6) $\dfrac{1}{1+\ctg^2\alpha}+\cos^2\alpha=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 603. Доказать тождество: 1) $(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=\sin^2\alpha$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулы сокращённого умножения и основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

По формуле разности квадратов:
$(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha$.
По формуле разности квадратов:
$(1-\sin\alpha)(1+\sin\alpha)=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$.
Знаменатель равен $\cos^2\alpha$, поэтому выражение определено при $\cos\alpha\ne0$:
$\dfrac{\sin^2\alpha}{1-\sin^2\alpha}=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}= g^2\alpha$.
Знаменатель равен $\sin^2\alpha$, поэтому выражение определено при $\sin\alpha\ne0$:
$\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\ctg^2\alpha$.
При $\cos\alpha\ne0$ используем $1+ g^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$:
$\dfrac{1}{1+ g^2\alpha}+\sin^2\alpha=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$.
При $\sin\alpha\ne0$ используем $1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$:
$\dfrac{1}{1+\ctg^2\alpha}+\cos^2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Ответ: все шесть тождеств доказаны в областях определения соответствующих выражений.