605. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Обозначим длину каждого катета через a, а высоту, проведённую к гипотенузе, — через h.

1. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен a² + a² = 2a².

2. Площадь треугольника можно выразить через катеты и через гипотенузу с высотой к ней: a²/2 = (√2a)h/2. Поэтому h = a/√2.

3. Площадь квадрата на катете равна a². Площадь квадрата на высоте равна h² = a²/2.

Следовательно, a² вдвое больше a²/2, что и требовалось доказать.