61. Два слесаря выполнили задание за 12 ч. Если бы половину задания выполнил первый, а оставшуюся часть второй, то первому потребовалось бы времени на 5 ч больше, чем второму. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить задание?

Пусть первый слесарь один выполнит всё задание за x часов, а второй — за y часов. Тогда на половину задания им потребовалось бы соответственно x/2 и y/2 часов.

По условию первый затратил бы на 5 часов больше:

\(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}=5\), поэтому \(x-y=10\).

Их совместная производительность равна \(\frac{1}{12}\) задания в час, значит:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\), откуда \(xy=12(x+y)\).

Подставим \(x=y+10\):

\(y(y+10)=12(2y+10)\).

\(y^2-14y-120=0\).

Корни: \(y=20\) и \(y=-6\). Отрицательное значение времени не подходит, поэтому \(y=20\), а \(x=30\).

Проверка: \(\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{1}{12}\), а половину задания первый выполняет за 15 ч, второй — за 10 ч; разница равна 5 ч.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить задание за 30 ч, второй — за 20 ч.