Ответ:

Омонимы — рысью и рысью.

В строке «Поспевает рысью» слово означает «быстрым бегом, трусцой» (рысью — аллюром). В строке «Вслед за мамой рысью» оно означает «за мамой-рысью», то есть за самкой животного рыси.