61. Решите уравнение: а) (2x − 3)/3 − (x + 2)/4 = 5/12; б) (3x − 1)/4 − (4x + 1)/3 = 7/12; в) |3x − 1| = 5; г) |7x − 3| = 4; д) |4 − x| = x − 4; е) |5 − x| = x − 5; ж) (3x − 2)(7x + 4) = 0; з) (2x − 5)(3x + 4) = 0; и) (a − 3)x = 2a − 6; к) (a − 2)x = 3a − 6.

а) Умножим уравнение на 12:

\(4(2x-3)-3(x+2)=5\).

\(8x-12-3x-6=5\), \(5x=23\), поэтому \(x=\frac{23}{5}\).

б) Умножим уравнение на 12:

\(3(3x-1)-4(4x+1)=7\).

\(9x-3-16x-4=7\), \(-7x=14\), поэтому \(x=-2\).

в) \(|3x-1|=5\), значит \(3x-1=5\) или \(3x-1=-5\). Отсюда \(x=2\) или \(x=-\frac{4}{3}\).

г) \(|7x-3|=4\), значит \(7x-3=4\) или \(7x-3=-4\). Отсюда \(x=1\) или \(x=-\frac{1}{7}\).

д) Правая часть должна быть неотрицательной: \(x-4\ge 0\), то есть \(x\ge4\). При этом \(|4-x|=x-4\), поэтому подходят все \(x\ge4\).

е) Правая часть должна быть неотрицательной: \(x-5\ge0\), то есть \(x\ge5\). При этом \(|5-x|=x-5\), поэтому подходят все \(x\ge5\).

ж) Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\(3x-2=0\) или \(7x+4=0\). Поэтому \(x=\frac23\) или \(x=-\frac47\).

з) \(2x-5=0\) или \(3x+4=0\). Поэтому \(x=\frac52\) или \(x=-\frac43\).

и) \((a-3)x=2a-6=2(a-3)\).

Если \(a\ne3\), то \(x=2\). Если \(a=3\), получаем тождество \(0=0\), поэтому подходит любое действительное \(x\).

к) \((a-2)x=3a-6=3(a-2)\).

Если \(a\ne2\), то \(x=3\). Если \(a=2\), получаем противоречие \(0=0\)? При подстановке: \(0\cdot x=0\), поэтому подходит любое действительное \(x\).

Ответ: а) \(x=\frac{23}{5}\); б) \(x=-2\); в) \(x=2, -\frac43\); г) \(x=1, -\frac17\); д) \(x\in[4;+\infty)\); е) \(x\in[5;+\infty)\); ж) \(x=\frac23, -\frac47\); з) \(x=\frac52, -\frac43\); и) при \(a\ne3\) \(x=2\), при \(a=3\) — любое \(x\); к) при \(a\ne2\) \(x=3\), при \(a=2\) — любое \(x\).