61. Сколько решений имеет уравнение: а) 25/x = 2x − 5; б) x³ = |x|?

а)

Область допустимых значений: \(x\ne0\).

Умножим уравнение на \(x\): \(25=2x^2-5x\), то есть \(2x^2-5x-25=0\).

Дискриминант: \(D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-25)=225\gt0\). Следовательно, уравнение имеет два различных корня, и оба не равны нулю.

Ответ: а) 2 решения.

б)

Если \(x\ge0\), то \(|x|=x\), поэтому \(x^3=x\), откуда \(x(x^2-1)=0\). Получаем \(x=0\) или \(x=1\).

Если \(x<0\), то \(|x|=-x\), поэтому \(x^3=-x\), откуда \(x(x^2+1)=0\). Действительных решений при \(x<0\) нет.

Итак, всего два решения: \(x=0\) и \(x=1\).

Ответ: б) 2 решения.