61. Сколько решений имеет уравнение: а) \(\frac{25}{x}=2x-5\); б) \(x^3=|x|\)?

а) Область допустимых значений: \(x\ne0\).

Умножим уравнение на \(x\): \(25=2x^2-5x\).

Получаем квадратное уравнение: \(2x^2-5x-25=0\).

Дискриминант: \(D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-25)=25+200=225>0\).

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Ни один из них не равен нулю, поэтому оба допустимы.

Ответ: 2 решения.

б) Рассмотрим случаи.

Если \(x\ge0\), то \(|x|=x\), поэтому \(x^3=x\), откуда \(x(x-1)(x+1)=0\). С учётом \(x\ge0\): \(x=0\) или \(x=1\).

Если \(x<0\), то \(|x|=-x\), поэтому \(x^3=-x\), откуда \(x(x^2+1)=0\). Действительных отрицательных решений нет.

Итак, уравнение имеет два решения: \(x=0\) и \(x=1\).

Ответ: 2 решения.