61. В треугольнике ABC угол C равен 90°, сторона ВС равна 40. Тангенс угла А равен \( \frac{20}{21} \). Найдите длину стороны АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен \( 90° \). Нам даны:

• Противолежащий катет BC = 40.
• Тангенс угла A, \( \text{tg}A = \frac{20}{21} \).

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

\[ \text{tg}A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \]\[ \frac{20}{21} = \frac{40}{AC} \]\[ AC = \frac{40 \cdot 21}{20} = 2 \cdot 21 = 42 \]

Теперь, используя теорему Пифагора, найдём гипотенузу AB:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 42^2 + 40^2 \]\[ AB^2 = 1764 + 1600 \]\[ AB^2 = 3364 \]

Извлекаем квадратный корень:

\( AB = \sqrt{3364} = 58 \)

Ответ: 58