62. 1) Шесть рыбаков поймали вместе 14 рыб. Докажите, что хотя бы два рыбака поймали рыб поровну. 2) В классе 25 учеников. Докажите, что есть такой месяц в году, когда день рождения справляют не менее 3 учеников. 3) Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, имеющих вид 4k + 1, где k ∈ N.

1) Докажем методом от противного. Предположим, что все шесть рыбаков поймали разное количество рыб. Тогда наименьшая возможная сумма их уловов равна 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Но по условию всего поймано 14 рыб, то есть сумма равна 14. Получили противоречие.

Ответ: хотя бы два рыбака поймали одинаковое количество рыб.

2) Докажем методом от противного. Предположим, что ни в одном месяце дни рождения не отмечают 3 или более учеников. Тогда в каждом из 12 месяцев дни рождения отмечают не более 2 учеников. Значит, всего в классе не более 12 · 2 = 24 учеников. Но по условию в классе 25 учеников. Получили противоречие.

Ответ: существует месяц, в котором дни рождения отмечают не менее 3 учеников.

3) Докажем методом от противного. Предположим, что чисел вида 4k + 1 существует конечное количество. Тогда среди них найдётся наибольшее число, например 4K + 1. Но число 4(K + 1) + 1 = 4K + 5 также имеет вид 4k + 1 и больше числа 4K + 1. Получили противоречие.

Ответ: существует бесконечно много натуральных чисел вида 4k + 1.