62. а) Две стороны треугольника имеют длины a и b. Найдите наибольшее возможное значение, которое может принимать площадь треугольника. б) Диагонали выпуклого четырёхугольника равны d₁ и d₂. Найдите наибольшее возможное значение, которое может принимать площадь четырёхугольника.

а) Если угол между сторонами длины a и b равен γ, то площадь треугольника равна \(S=\frac12 ab\sin\gamma\). Так как \(\sin\gamma\leq 1\), получаем \(S\leq\frac12 ab\). Равенство достигается при \(\gamma=90^\circ\), поэтому наибольшая площадь равна \(\frac12 ab\).

б) Пусть угол между диагоналями равен φ. Площадь выпуклого четырёхугольника равна \(S=\frac12 d_1d_2\sin\varphi\). Следовательно, \(S\leq\frac12 d_1d_2\), причём равенство достигается, когда диагонали перпендикулярны. Наибольшая площадь равна \(\frac12 d_1d_2\).