62. Проведите доказательство косвенным методом: 1) Шесть рыбаков поймали вместе 14 рыб. Докажите, что хотя бы два рыбака поймали рыб поровну. 2) В классе 25 учеников. Докажите, что есть такой месяц в году, когда день рождения справляют не менее 3 учеников. 3) Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, имеющих вид 4k + 1, где k ∈ N.

1) Предположим противоположное: все шесть рыбаков поймали разное количество рыб.

Количество пойманных рыб у каждого рыбака — неотрицательное целое число. Тогда минимальная возможная сумма шести различных количеств равна

\[0+1+2+3+4+5=15.\]

Но по условию всего поймано 14 рыб. Получили противоречие.

Следовательно, хотя бы два рыбака поймали одинаковое количество рыб.

2) Предположим противоположное: в каждом месяце день рождения справляют не более 2 учеников.

Тогда за 12 месяцев день рождения могут справлять не более

\[12\cdot 2=24\]

учеников. Но в классе 25 учеников, то есть один ученик остаётся неучтённым. Получили противоречие.

Следовательно, существует месяц, когда день рождения справляют не менее 3 учеников.

3) Предположим противоположное: чисел вида \(4k+1\), где \(k\in\mathbb N\), существует конечное число. Тогда среди них есть наибольшее число, например \(4K+1\).

Но число

\[4(K+1)+1=4K+5\]

также имеет вид \(4k+1\) и больше числа \(4K+1\). Получили противоречие.

Следовательно, чисел вида \(4k+1\), где \(k\in\mathbb N\), существует бесконечно много.