Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 620. Решить уравнения: 1) \(\sin^2 x=\frac14\); 2) \(\cos^2 x=\frac12\); 3) \(2\sin^2 x+\sin x-1=0\); 4) \(2\cos^2 x+\cos…Фото задания

Ответ:

  1. \(\sin^2 x=\frac14\), значит \(\sin x=\pm\frac12\). Отсюда \(x=\pi k+(-1)^k\frac{\pi}{6},\ k\in\mathbb Z\).

  2. \(\cos^2 x=\frac12\), значит \(\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\). Следовательно, \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z\).

  3. Положим \(t=\sin x\). Тогда \(2t^2+t-1=0\), то есть \((2t-1)(t+1)=0\). Поэтому \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=-1\).

    В первом случае \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\); во втором \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

  4. Положим \(t=\cos x\). Получаем \(2t^2+t-6=0\), откуда \((2t-3)(t+2)=0\). Корни \(t=\frac32\) и \(t=-2\) не принадлежат отрезку \([-1,1]\), поэтому решений нет.