Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 621. Решить уравнения: 1) \(2\cos^2 x-\sin x+1=0\); 2) \(3\cos^2 x-\sin x-1=0\); 3) \(4\sin^2 x-\cos x-1=0\); 4) \(2\sin^2…Фото задания

Ответ:

  1. Используем \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\): \(2(1-\sin^2 x)-\sin x+1=0\), откуда \(2\sin^2 x+\sin x-3=0\). Корни: \(\sin x=1\) или \(\sin x=-\frac32\). Второй невозможен, поэтому \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z\).

  2. Подставим \(\cos^2 x=1-\sin^2 x\): \(3(1-\sin^2 x)-\sin x-1=0\), то есть \(3\sin^2 x+\sin x-2=0\). Разложение: \((3\sin x-2)(\sin x+1)=0\).

    Следовательно, \(\sin x=\frac23\) или \(\sin x=-1\). Ответ: \(x=\arcsin\frac23+2\pi k\) или \(x=\pi-\arcsin\frac23+2\pi k\), или \(x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

  3. Используем \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\): \(4(1-\cos^2 x)-\cos x-1=0\), поэтому \(4\cos^2 x+\cos x-3=0\). Отсюда \((4\cos x-3)(\cos x+1)=0\).

    Значит, \(\cos x=\frac34\) или \(\cos x=-1\). Ответ: \(x=\pm\arccos\frac34+2\pi k\) или \(x=\pi+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

  4. Подставим \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\): \(2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0\), откуда \(2\cos^2 x-3\cos x-2=0\). Разложение: \((2\cos x+1)(\cos x-2)=0\). Значение \(\cos x=2\) невозможно, поэтому \(\cos x=-\frac12\).

    Тогда \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\) или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).