628. а) Биссектриса угла A треугольника ABC делит медиану, проведённую из вершины B, в отношении 6:5, считая от вершины B. В каком отношении, считая от вершины C, эта биссектриса делит сторону BC? б) Биссектриса угла B в треугольнике ABC делит медиану, проведённую из вершины C, в отношении 8:3, считая от вершины C. В каком отношении, считая от вершины A, эта биссектриса делит медиану, проведённую из вершины A?

а) Пусть биссектриса угла \(A\) пересекает медиану из вершины \(B\) в точке \(P\), а сторону \(BC\) — в точке \(E\). Медиана делит сторону \(AC\) пополам.

Так как \(BP:PD=6:5\), то при разложении точки \(P\) по направлениям \(AB\) и \(AC\) получаем отношение коэффициентов \(5:3\). Поэтому точка \(E\) делит сторону \(BC\) так, что \(BE:EC=3:5\). Следовательно, считая от вершины \(C\), получаем \(CE:EB=5:3\).

б) Пусть биссектриса угла \(B\) пересекает медиану из вершины \(C\) в точке \(P\), а медиану из вершины \(A\) — в точке \(Q\). При \(CP:PD=8:3\), где \(D\) — середина \(AB\), отношение направляющих коэффициентов биссектрисы равно \(4:3\).

Для точки \(Q\) на медиане из вершины \(A\) имеем отношение этих коэффициентов \(\left(1-t\right):\frac{t}{2}=4:3\), где \(t=\frac{AQ}{AM}\). Тогда:

\(3(1-t)=2t\),
\(5t=3\),
\(t=\frac{3}{5}\).

Значит, \(AQ:QM=3:2\).

Ответ: а) \(5:3\); б) \(3:2\).