628. Представьте выражение в виде одночлена:

Решение:

Для представления выражений в виде одночлена, необходимо применить свойства степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \).

а) \( \left( \frac{2x^2}{4} \right)^3 \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) \)

1. Упростим дробь внутри первой скобки: \( \frac{2x^2}{4} = \frac{x^2}{2} \).
2. Возведём в куб: \( \left( \frac{x^2}{2} \right)^3 = \frac{(x^2)^3}{2^3} = \frac{x^6}{8} \).
3. Перемножим полученное выражение с вторым множителем: \( \frac{x^6}{8} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = -\frac{x^6}{8x^2} \).
4. Упростим дробь: \( -\frac{x^6}{8x^2} = -\frac{x^{6-2}}{8} = -\frac{x^4}{8} \).

б) \( -0.2a^2b^3 \cdot \left( -5a^3b^2 \right)^2 \)

1. Возведём вторую скобку в квадрат: \( \left( -5a^3b^2 \right)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 25 a^6 b^4 \).
2. Перемножим первое выражение со вторым: \( -0.2a^2b^3 \cdot 25a^6b^4 \).
3. Умножим коэффициенты: \( -0.2 \cdot 25 = -5 \).
4. Сложим степени переменных: \( a^2 \cdot a^6 = a^{2+6} = a^8 \), \( b^3 \cdot b^4 = b^{3+4} = b^7 \).
5. Объединим результаты: \( -5a^8b^7 \).

в) \( \left( -3y^4 \right)^3 \cdot y^5 \)

1. Возведём первую скобку в куб: \( \left( -3y^4 \right)^3 = (-3)^3 \cdot (y^4)^3 = -27 y^{12} \).
2. Перемножим полученное выражение с \( y^5 \): \( -27 y^{12} \cdot y^5 \).
3. Сложим степени переменной \( y \): \( y^{12} \cdot y^5 = y^{12+5} = y^{17} \).
4. Объединим результаты: \( -27y^{17} \).

г) \( -0.5c^4d^3 \cdot \left( -4c^2d^2 \right)^2 \)

1. Возведём вторую скобку в квадрат: \( \left( -4c^2d^2 \right)^2 = (-4)^2 \cdot (c^2)^2 \cdot (d^2)^2 = 16 c^4 d^4 \).
2. Перемножим первое выражение со вторым: \( -0.5c^4d^3 \cdot 16c^4d^4 \).
3. Умножим коэффициенты: \( -0.5 \cdot 16 = -8 \).
4. Сложим степени переменных: \( c^4 \cdot c^4 = c^{4+4} = c^8 \), \( d^3 \cdot d^4 = d^{3+4} = d^7 \).
5. Объединим результаты: \( -8c^8d^7 \).

д) \( -pq \cdot \left( 6p^2q \right)^3 \)

1. Возведём вторую скобку в куб: \( \left( 6p^2q \right)^3 = 6^3 \cdot (p^2)^3 \cdot q^3 = 216 p^6 q^3 \).
2. Перемножим первое выражение со вторым: \( -pq \cdot 216p^6q^3 \).
3. Умножим коэффициенты: \( -1 \cdot 216 = -216 \).
4. Сложим степени переменных: \( p \cdot p^6 = p^{1+6} = p^7 \), \( q \cdot q^3 = q^{1+3} = q^4 \).
5. Объединим результаты: \( -216p^7q^4 \).

е) \( (3mn)^4 \cdot (-3mn^2) \)

1. Возведём первую скобку в четвёртую степень: \( (3mn)^4 = 3^4 \cdot m^4 \cdot n^4 = 81 m^4 n^4 \).
2. Перемножим полученное выражение со вторым: \( 81m^4n^4 \cdot (-3mn^2) \).
3. Умножим коэффициенты: \( 81 \cdot (-3) = -243 \).
4. Сложим степени переменных: \( m^4 \cdot m = m^{4+1} = m^5 \), \( n^4 \cdot n^2 = n^{4+2} = n^6 \).
5. Объединим результаты: \( -243m^5n^6 \).

Ответ: а) \( -\frac{x^4}{8} \); б) \( -5a^8b^7 \); в) \( -27y^{17} \); г) \( -8c^8d^7 \); д) \( -216p^7q^4 \); е) \( -243m^5n^6 \).