628. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ через вершину B₁ и точку D, делящую диагональ AC₁ в отношении 4:3 (от A к C₁), проведена прямая, пересекающая плоскость основания в точке E; AB = 15. Определите расстояние между точками A и E.

Обозначим через H высоту призмы. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(15; 0; 0), C(7.5; 7.5√3; 0). Тогда B₁(15; 0; H), C₁(7.5; 7.5√3; H).

1. Так как AD:DC₁ = 4:3, точка D делит AC₁ в отношении 4:3 от A к C₁. Поэтому D имеет координаты (4/7 C₁) = (30/7; 30√3/7; 4H/7).
2. Прямая B₁D задаётся точками B₁ + t(D − B₁). Её координата z равна H − 3Ht/7. При пересечении с плоскостью основания z = 0, откуда t = 7/3.
3. Тогда координаты E: (15; 0; 0) + (7/3)(−75/7; 30√3/7; −3H/7) = (−10; 10√3; 0).
4. Следовательно, AE = √((−10)² + (10√3)²) = √400 = 20.

Ответ: AE = 20.