629. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ через вершину B₁ и точку E, делящую диагональ DC₁ в отношении 3:2 (от D к C₁), проведена прямая, пересекающая плоскость основания в точке F; AB = 12. Определите расстояние DF.

Обозначим через H высоту призмы. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(12; 0; 0), C(12; 12; 0), D(0; 12; 0). Тогда B₁(12; 0; H), C₁(12; 12; H).

1. Поскольку DE:EC₁ = 3:2, точка E делит DC₁ в отношении 3:2 от D к C₁. Поэтому E(36/5; 12; 3H/5).
2. Точки прямой B₁E можно записать как B₁ + t(E − B₁). Координата z равна H − 2Ht/5. Для пересечения с плоскостью основания z = 0, значит t = 5/2.
3. Тогда F = (12; 0; 0) + (5/2)(−24/5; 12; −2H/5) = (0; 30; 0).
4. Точки D и F лежат на одной прямой, параллельной стороне квадрата, поэтому DF = 30 − 12 = 18.

Ответ: DF = 18.