63. В основании правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат со стороной 4 см. Диагональ призмы АС, образует с плоскостью основания ABCD угол 60°. Найдите высоту призмы и площадь полной поверхности.

Решение:

1. Найдем высоту призмы:

В основании призмы лежит квадрат ABCD со стороной \( a = 4 \) см. Диагональ основания AC найдем по теореме Пифагора:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]

\[ AC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 \]

\[ AC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \) см.

Диагональ призмы — это отрезок \( A_1C \). Угол между диагональю призмы \( A_1C \) и плоскостью основания ABCD равен углу между \( A_1C \) и его проекцией на плоскость основания, которая является диагональю основания AC. Таким образом, \( \angle A_1CA = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle A_1CA \) (угол \( \angle A_1AC = 90^{\circ} \) так как \( A_1A \) перпендикулярна плоскости основания), найдем высоту призмы \( h = A_1A \) через тангенс угла:

\[ \tan(\angle A_1CA) = \frac{A_1A}{AC} \]

\[ \tan(60^{\circ}) = \frac{h}{4\sqrt{2}} \]

\[ \sqrt{3} = \frac{h}{4\sqrt{2}} \]

\[ h = 4\(\sqrt{2}\) \(\cdot\) \(\sqrt{3}\) = 4\(\sqrt{6}\) \) см.

2. Найдем площадь полной поверхности призмы:

Полная поверхность призмы складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности.

Площадь основания \( S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16 \) см².

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = P \cdot h \), где \( P \) — периметр основания.

Периметр основания \( P = 4a = 4 \cdot 4 = 16 \) см.

\[ S_{бок} = 16 \(\cdot\) 4\(\sqrt{6}\) = 64\(\sqrt{6}\) \) см².

Площадь полной поверхности \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \)

\[ S_{полн} = 2 \(\cdot\) 16 + 64\(\sqrt{6}\) = 32 + 64\(\sqrt{6}\) \) см².

Ответ: Высота призмы равна \( 4\sqrt{6} \) см, а площадь полной поверхности равна \( 32 + 64\sqrt{6} \) см².